MENTAL vs. MATEMÁTICA VÉDICA. EJEMPLOS

Notación utilizada

Utilizamos el símbolo “|" para separar los números componentes de una representación de potencias de 10. Puede haber n símbolos seguidos, que también se pueden representar mediante “|_n”. El símbolo "|₁" equivale a "|". En general,

a|b = a×10 + b
a||b = a×10² + b
a|_n = a×10ⁿ
a|_nb = a×10ⁿ + b

Ejemplos:

4 | 5 | 6 = 4×10² + 5×10 + 6 = 456

13 | 25 = 13×10 + 25 = 155

13 |₂ 25 = 13×10²+ 25 = 1325

133 | 7 = 133×10 + 7 = 1340

133 |₃ 7 = 133×10³ + 7 = 133007

11 | 25 | 7 = 11×100 + 25×10 + 7 = 1132

11 |₂ 25 |₂ 7 = 11×10⁴ + 25×10² + 7 = 112507

También se pueden utilizar números negativos. Por ejemplo,

4 | −5 | 6 = 4×100 − 5×10 + 6 = 356

13 |₂ −21 = 13×10² + 21 = 1279

Resta

Se aplica el sutra 2: Todos de 9 y el último de 10.

Si queremos restar dos números a y b (a > b), se calcula primero el complementario de b, C(b), y se suma a a: a + C(b). Al resultado se le resta la potencia de 10 más próxima y mayor que b.

El complemento de un número n, C(n), es el complemento a 9 de cada uno de sus dígitos más una unidad, o bien 10 elevado al número de dígitos de n menos n. Por ejemplo,

C(123) = 999 − 123 + 1 = 1000 − 123 = 877.

Fórmula: a − b = a + C(b) − 10ⁿ (n es la longitud de b)

Por ejemplo:

9537 − 189
C(189) = 811
189 + C(189) = 189 + 811 = 1000
9537 − 189 = 9537 + 811 – 1000 = 9348

Producto de números próximos a una misma potencia de 10

Se aplica el sutra 2: Todos de 9 y el último de 10.

Fórmula: a₁a₂ = a₁ + e₂ |_n e₁e₂ ≡ a₂ + e₁ |_n e₁e₂

(e₁ y e₂ son las diferencias respecto a la base más próxima)

Justificación:

a₁a₂ = (10ⁿ + e₁) (10ⁿ + e₂) = 10²ⁿ + 10ⁿe₁ + 10ⁿe₂ + e₁e₂ = 10ⁿ(10ⁿ + e₁ + e₂) + e₁e₂ = a₁ + e₂ |_n e₁e₂ ≡ a₂ + e₁ |_n e₁e₂

Esquema:

a1	e1 = a1 − 10n
a2	e2 = a2 − 10n
a1 + e2 = a2 + e1	e1e2
a1 + e2 |n e1e2

Ejemplos:

1. 96×93 = 8928
   
   

   96	96 − 100 = −4
   93	93 − 100 = −7
   93 − 4 = 96 − 7	(−4)×(−7)
   89	28
   89 |2 28 = 8928

   
   
2. 1002×997 = 1002 − 3 |₃ 2×(−3) = 999 |₃ −6 = 999 |₃ −6 = 998 |₃ 994 = 998994
   
   
3. 99976×99998 = 99976 − 2 |₅ −24×−2 = 99974 | 00048 = 9997400048
   
   
4. 998×1025 = 998 + 25 |₃ −2×25 = 1023 |₃ −50 = 1023050 = 1022950

Producto de números próximos a una base de trabajo

Se toma un múltiplo o submúltiplo como base de trabajo (b).

Fórmula: a₁a₂ = f(a₁ + a₂) |_n e₁e₂ siendo b = f×10ⁿ,

Justificación:

a₁a₂ = (b + e₁)(b + e₂) = b(b + e₁ + e₂) + e₁e₂ = b(a₁ + e₂) + e₁e₂ = f(a₁ + a₂) |_n e₁e₂

Esquema:

a1	e1
a2	e2
a1 + e2	e1e2
a1 + e2 |2 e1e2

Por ejemplo, en 61×53 tomamos como base de trabajo 50 = 100/2.

61	11 (61 − 50)
53	3 (53 − 50)
61 + 3 = 53 + 11	11×3
64	33
64×50 = 64×100/2 = 32	33
32 |2 33 = 3233

Cuadrado de un número próximo a una base de trabajo

Fórmula: a² = (a + b)(a − b) + b² para cualquier b.

Justificación:

Como a² − b² = (a + b)(a − b), entonces a² = (a + b)(a − b) + b²

Ejemplos:

1. 972 = (97 + 3)(97 − 3) + 3² = 100×94 + 9 = 9409 (se ha elegido b = 3)
   
   
2. 572 = (57 + 7)(57 − 7) + 7² = 64×50 + 49 = 3249 (se ha elegido b = 7)

Usando el valor medio para multiplicar

Cuando se multiplican dos números, el valor medio de ambos se puede utilizar a veces para calcular su producto.

Fórmula: (a − e) (a + e) = a² − e²

Ejemplos:

1. 57×63.
   El valor medio es 60, 60² = 3600, 57×63 = 60² − 3² = 3591
   
   
2. x + y = 10
   xy = 24
   
   El valor medio de x e y es 5, xy = (5 + e)(5 − e) = 25 − e² = 24, e² = 1, e = 1 y −1. Por lo tanto, x = 5 + 1 = 6 e y = 5 − 1 = 4.

Multiplicación por 9…9

9…9 = 10ⁿ − 1

Fórmula: a(10ⁿ − 1) = a − 1 |_n 10ⁿ − a

Justificación:

a(10ⁿ − 1) = 10ⁿa − a = 10ⁿa − 10ⁿ + 10ⁿ − a = 10ⁿ(a −1) + 10ⁿ − a = a − 1 |_n 10ⁿ − a

Ejemplos:

1. 7×9 = 7 − 1 | 10 − 7 = 6 | 3 = 63
   
   
2. 18×99 = 17 |₂ 100 − 18 = 17 |₂ 82 = 1782
   
   
3. 79×9999 = 79 − 1 |₄ 10000 − 79 = 78 |₄ 9921 = 789921

Cuadrado de un número próximo a una potencia de 10

Fórmula: a² = 10ⁿ + 2e |_n e² (siendo e = a − 10ⁿ)

Justificación:

a² = (10ⁿ + e)² = 10²ⁿ + 10ⁿ×2e + e² = 10ⁿ(10ⁿ + 2e) + e² = 10ⁿ + 2e |_n e²

Ejemplos:

1. 14² = 10 + 2×4 | 4² = 18 | 16 = 18×10 + 16 = 196
   
   
2. 1082 = 100 + 2×8 |₂ 82 = 116 |₂ 64 = 11664
   
   
3. 9882 = 1000 − 12×2 |₃ 122 = 976 |₃ 144 = 976144
   
   
4. 10082 = 1000 + 2×8 |₃ 8² = 1016 |₃ 064 = 1016064

Cuadrado de un número

Se aplica el llamado “Dvanda Yoga” (método dúplex). La función dúplex (D) de un número se ilustra con un ejemplo:

a = a₁a₂a₃a₄ = 1234, a² = 1552756

D(a₁) = a₁²
D(1) = 1² = 1.
D(a₁a₂) = 2a₁a₂
D(12) = 2×(1×2) = 4
D(a₁a₂a3) = 2a₁a₃ + a₂²
D(123) = 2×(1×3) + 2² = 10
D(a₁a₂a3a4) = 2a₁a4 + 2a₂a3
D(1234) = 2×(1×4) + 2×(2×3) = 20
D(a₂a₃a₄) = 2a₂a₄ + a₃²
D(234) = 2×(2×4) + 3² = 25
D(a₃a₄) = 2a₃a₄
D(34) = 2×(3×4) = 24
D(a₄) = a₄²
D(4) = 4² = 16

El resultado es:

D(1) | D(12) | D(123) | D(1234) | D(234) | D(34) | D(4) =
1 | 4 | 10 | 20 | 25 | 24 | 16 =
1 | 4 | 10 | 20 | 25 | 25 | 6 =
1 | 4 | 10 | 20 | 27 | 5 | 6 =
1 | 4 | 10 | 22 | 7 | 5 | 6 =
1 | 4 | 12 | 2 | 7 | 5 | 6 =
1 | 5 | 2 | 2 | 7 | 5 | 6 = 1522756

Cuadrado de una expresión

Se aplica también el método dúplex. Ejemplos:

1. (x + 5)²
   D(x) = x²
   D(x + 5) = 2×x×5 = 10x
   D(5) = 52
   Resultado: x² + 10x + 5
   
   
2. (2x + 3y + 4)²
   D(2x) = (2x)² = 4x²
   D(2x + 3y) = 2×2x×3y = 12xy
   D(2x + 3y + 4) = 2×2x×4 + (3y)² = 16x + 9y²
   D(3y + 4) = 2×3y×4 = 24y
   D(4) = 4² = 16
   Resultado: 4x² + 12xy + 16x + 9y² + 24y + 16

Cuadrado de un número terminado en 5

Se aplica el sutra 1: Por uno más que el anterior.

Fórmula: (a | 5)² = a(a + 1) |₂ 25

Justificación:

(a | 5)² = (10a + 5)² = 100a² + 25 + 100a = 100a(a + 1) + 25 = a(a + 1) |₂ 25

Esquema:

a		5
a	a + 1	25
a(a + 1)		25
a(a + 1) |2 25

Ejemplos:

1. 75² = 7×(7 + 1) |₂ 25 = 7×8 |₂ 25 = 56 |₂ 25 = 5625
   
   
2. 135² = 13×(13 + 1) |₂ 25 = 13×14 |₂ 25 = 182 |₂ 25 = 18225
   
   
3. 3615² = 361×(361 + 1) |₂ 25 = 130682 |₂ 25 = 13068225

Raíz cuadrada

El procedimiento es el inverso del cuadrado, utilizándose el método dúplex a la inversa. Por ejemplo, √(38837824).

Se observa que el número consta de 4 pares de dígitos, por lo que el resultado debe tener 4 dígitos: a₁a₂a₃a₄.

• Puesto que el primer par es 38, a₁ = 6, D(a₁) = a₁² = 36, resto r₁ = 38 − 36 = 2.
  
  
• Siguiente dividendo: r₁8 = 28.
  D(a₁a₂) = 2a₁a₂ = 2×6×a₂ = 12a₂ ≤ 28, a₂ = 2, r₂ = 28 − 24 = 4.
  
  
• Siguiente dividendo: r₂3 = 43. D(a₁a₂a₃) = 2a₁a₃ +
  a₂² = 2×6×a₃ + 2² = 12a₃ + 4 ≤ 43, a₃ = 3, r₃ = 3.
  
  
• Siguiente dividendo: r₃7 = 37.
  D(a₁a₂a₃a₄) = 2a₁a4 + 2a₂a3 = 2×6×a₄ + 2×2×3 = 12a₄ + 12 ≤ 37, a₄ = 2, r₄ = 1.
  
  
• Siguiente dividendo: r₄8 = 18.
  D(a₂a₃a₄) = 2a₂a4 + a₃² = 2×2×2 + 3² = 17 ≤ 18, r₅ = 1.
  
  
• Siguiente dividendo: r₅8 = 12.
  D(a₃a₄) = 2a₃a₄ = 2×3×2 = 12 ≤ 12, r₆ = 0.
  
  
• Siguiente dividendo: r₆4 = 04.
  D(a₄) = a₄² = 2² = 4 ≤ 4, r₆ = 0.
  
  
• El resultado es a₁a₂a3a4 = 6232.

Producto de dos números cuya suma de los últimos dígitos es la base (10) y las partes previas son iguales

Se aplica también el sutra 1: Por uno más que el anterior.

Fórmula: a | d₁ × a | d₂ = a(a + 1) | d₁d₂

Justificación:

ad₁ × ad₂ = (10a + d₁)(10a + d₂) = 100a² + 10ad₂ + 10ad₁ + d₁d₂ = 100a² + 10a(d₁ + d₂) + d₁d₂ = 100a² + 100a + d₁d₂ = 100a(a+1) + d₁d₂ = a(a + 1) |₂ d₁d₂

Ejemplos:

37×33 = 3×4 |₂ 7×3 = 12 |₂ 21 = 1221

84×86 = 8×9 |₂ 4×6 = 72 |₂ 24 = 7224

114×116 = 11×12 |₂ 6×4 = 132 |₂ 24 = 13224

324×326 = 32×33 |₂ 4×6 = 1056 |₂ 24 = 105624

1001×1009 = 100×101 |₂ 1×9 = 10100 |₂ 9 = 1010009

Cubo de un número próximo a una potencia de 10

Fórmula: a³ = a+2e |_n 3e² |_n e²

Justificación:

a³ = (10ⁿ + e)³ = 10³ⁿ + e³ + 3e10²ⁿ + 3e²10ⁿ = 10²ⁿ(10ⁿ + 3e) + 10ⁿ(3e²) + e³ = a + 2e |_n 3e² |_n e²

Ejemplos:

106³ = 106 + 2×6 |₂ 3×6² |₂ 6³ = 118 |₂ 108 |₂ 216 = 118 |₂ 110 |₂ 16 = 119 |₂ 10 |₂ 12 = 1191016

996³ = 996 − 2×4 |₃ 3×4² |₃ (−4)³ =998 |₃ 048 |₃ 064 = 988 |₃ 047 |₃ 936 = 988047936

Multiplicación de 3 números próximos a una potencia de 10

Fórmula: abc = 10ⁿ + a' + b' + c' |_n a'b' + a'c' + b'c' |_n a'b'c'

Justificación:

abc = (10ⁿ + a')(10ⁿ + b')(10ⁿ + c') = 10³ⁿ + 10²ⁿ(a' + b' + c') + 10ⁿ(ab' + a'c' + b'c) + a'b'c' = 10²ⁿ(10ⁿ + a' + b' + c) + 10ⁿ(a'b' + a'c' + b'c') + a'b'c' = 10ⁿ + a' + b' + c' |_n a'b' + a'c' + b'c' |_n a'b'c'

Esquema:

a		a'
b		b'
c		c'
a − b' − c' = b − a' − c' = c − a' − b'	a'b' + a'c' + b'c'		a'b'c'
a − b' − c' |n a'b' + a'c' + b'c' |n a'b'c'

Ejemplos:

988		−12 (988 − 1000)
996		−4 (996 − 1000)
995		−5 (995 − 1000)
988 − 4 − 5 = 996 − 12 − 5 = 995 − 12 − 4 = 979	(−12×−4) + (−4×−5) + (−5×−12) = 128		−240 (−12×−4×−5)
979128240 = 979127760

Procedimiento general de multiplicación

El producto de dos números, a y b, es un número formado por sumas de combinaciones de productos. El número de orden i es la suma de los productos de los dígitos de ambos números tal que la suma de los exponentes de las potencias de 10 sumen i. Llamamos P(i) a las potencias de orden i.

Ejemplo:

345×27
P(0) = 5×7 = 35
P(1) = 4×7 + 5×2 = 38
P(2) = 3×7 + 4×2 = 29
P(3) = 3×2 = 6

El resultado es:
P(3) | P(2) | P(1) | P(0) = 6 | 29 | 38 | 35 = 6 | 29 | 41 | 5 = 6 | 33 | 1 | 5 = 9 | 3 | 1 | 5 = 9315

En la multiplicación se aplica el sutra 3: Verticalmente y en cruz. Ejemplos:

1. 12×13
   
   

   1		2
   1		3
   1×1	1×3 + 2×1		2×3
   1	5		6
   156

   
   
2. 34×27
   
   

   3		4
   2		7
   3×2	3×7 + 4×2		4×7
   6	29		28
   6	31		8
   9	1		8
   918

   
   
3. 123×456
   
   

   1		2		3
   4		5		6
   1×4	1×5 + 2×4	1×6 + 3×4 + 2×5	2×6 + 3×5	3×6
   4	13	28	27	18
   4	13	28	28	8
   4	13	30	8	8
   4	16	0	8	8
   5	6	0	8	8
   560088

División por un solo dígito

Se ilustra con un ejemplo: 671/4. Los pasos son los siguientes:

1. 6/4 = 1 (resto 2)
   Se añade 1 al cociente del resultado.
   Se pone el resto (2) delante de la segunda cifra (7) del dividendo.
   
   
2. 27/4 = 6 (resto 3)
   Se añade 6 al cociente del resultado.
   Se pone el resto (3) delante de la tercera cifra (1) del dividendo.
   
   
3. 31/4 = 7 (resto 3)
   Se añade 7 al cociente del resultado.
   El resultado es: 167 (resto 3).
   Si quisiéramos más decimales, añadiríamos ceros al dividendo y seguimos operando de la misma manera.
   
   

Esquema:

4	6	7	1
	6/4 = 1 (resto 2)
	1
	1	27/4 = 6 (resto 3)
	1	6	31
	1	6	31/4 = 7 (resto 3)
	1	6	7	3 (resto)
	167			3 (resto)

Esquema general:

d	a1	a2
	a1/d = c1 (resto r1)	r1a1/d = c2 (resto r2)
	c1	c2
	c1 | c2

División 1/19

1. Primer método. Se utiliza la multiplicación. Se procede de derecha a izquierda.
   
   Se utiliza el sutra 1: Por uno más que el anterior. El predecesor de 19 es 1. Por uno más que el predecesor = 1 + 1 = 2 (multiplicar por 2).
   
   Se coge el primer dígito, que es el dividendo (1) y se va multiplicando sucesivamente por 2 de la manera siguiente:
   
   
   1. Primer dígito del resultado.
   1×2 = 2. El resultado se pone delante del 1: 21.
   2×2 = 4. El resultado se pone delante del anterior: 421.
   4×2 = 8. Resultado: 8421.
   8×2 = 16. Se pone el 6, con 1 de acarreo: ₁68421.
   
   Análogamente, se obtienen:
   
   
   ₁368421
   7368421
   ₁47368421
   947368421
   18947368421
   178947368421
   1578947368421
   11578947368421
   31578947368421
   631578947368421
   12631578947368421
   52631578947368421
   
   Tras este número se repiten los decimales.
   
   El resultado final es 1/19 = 0.052631578947368421
   
   El periodo consta de 18 dígitos, siendo los 9 segundos los complementarios de los 9 primeros. El denominador menos el denominador (19 − 1 = 18) indica la longitud del periodo.
   
   Obsérvese que en la división solo se ha utilizado la multiplicación (×2) y la suma (+1).
   
   
2. Segundo método. Es el método dual del anterior. Se utiliza la división por 2 en lugar de la multiplicación. El periodo se calcula de izquierda a derecha.
   
   Se divide el primer dígito del dividendo (1) entre 2, que da cociente 0 y resto 1. El dígito más significativo es 0, con 1 de acarreo: .₁0
   Se divide 10 entre 2 = 5 (no hay resto): .05
   
   
   0.1 = 0.10
   10/2 = 5 (resto 0) 0.05
   5/2 = 2 (resto 1) 0.0512
   12/2 = 6 (resto 0) 0.00526
   6/2 = 3 (resto 0) 0.005263
   3/2 = 1 (resto 1) 0.00526311
   11/2 = 5 (resto 1) 0.005263115
   15/2 = 7 (resto 1) 0.0052631517
   17/2 = 8 (resto 1) 0.0052631578
   
   El segundo ciclo son los complementos a 9. Este segundo método es preferible porque se obtienen primero las cifras más significativas y además porque solo se utiliza una operación: la división por 2.

División por 9

1. 2 dígitos (a₁a₂/9).
   
   Fórmula: a₁a₂/9 = a₁ (cociente), a₁+a₂ (resto)
   
   Justificación: a₁a₂ = 10a₁ + a₂ = (9 + 1)a₁ + a₂ = 9a₁ + (a₁ + a₂)
   
   Esquema:
   
   

   a1	a2
   a1 (cociente)	a1 + a2 (resto)

   
   
2. 3 dígitos (a₁a₂a3/9).
   
   Fórmula: a₁a₂a₃/9 = 11a₁ + a₂ (cociente), a₁ + a₂ + a₃ (resto)
   
   Justificación: a₁a₂a3 = 100a₁ + 10a₂ + a₃
   
   100a₁/9 = 11a₁ (resto a₂), 10a₂/9 = a₂ (resto a₂)
   
   a₁a₂a₃/9 = 11a₁ + a₂ = 10a₁ + a₁ + a₂ = a₁ | a₁ + a₂ (resto a₁ + a₂ + a₃)
   
   Esquema:
   
   

   a1	a2	a3
   a1	a1 + a2	a1 + a2 + a3
   a1 | a1 + a2 (cociente)		a1 + a2 + a3 (resto)

   
   Ejemplo: 743/9 = 11 (cociente) y 4 (resto)
   
   

   7	4	3
   7	7 + 4	7 + 4 + 3 (resto)
   7 | 11 = 7×10 + 1 = 81		14 (resto)

   
   
3. 4 dígitos (a₁a₂a₃a₄/9).
   
   Esquema:
   
   

   a1	a2	a3	a4
   a1	a1 + a2	a1 + a2 + a3	a1 + a2 + a3 + a4
   a1 | a1 + a2 | a1 + a2 + a3 (cociente)			a1 + a2 + a3 + a4 (resto)

   
   Ejemplo: 8745/9 = 971 (cociente) y 6 (resto)
   
   

   8	7	4	5
   8	8 + 7	8 + 7 + 4	8 + 7 + 4 + 5
   8	15	19	24 = 9×2 + 6
   8	15	21	6
   8	17	1	6
   9	7	1	6
   9 | 7 | 1 = 971 (cociente)			6 (resto)

En general, en la división por 9, el primer dígito del cociente es el primer dígito del dividendo. A partir de este primer dígito se van sumando sucesivamente los dígitos del dividendo (menos el último) para obtener el resto de las cifras del cociente. El resto es la suma de los dígitos del dividendo.

Otros ejemplos:

1. 212/9 = 2 | 2 + 1 = 2 | 3 = 23, resto = 2 + 1 + 2 = 5
   
   
2. 1204/9 = 1 | 1 + 2 | 1 + 2 + 0 = 1 | 3 | 3 = 133, resto = 1 + 2 + 0 + 4 = 7
   
   
3. 132101/9 = 1 | 1 + 3 | 1 + 3 + 2 | 1 + 3 + 2 + 1 | 1 + 3 + 2 + 1 +0 = 1 | 4 | 6 | 7 | 7 = 14677, resto = 1 + 3 + 2 + 1 + 0 + 1 = 8

División por 99

Es similar a la división por 9, pero agrupando los dígitos de 2 en 2, por la derecha.

Ejemplos:

1. 121314/99 = 12 |₂ 12 + 13 = 12 |₂ 25 = 1225, resto = 12 + 13 + 14 = 39
   
   
2. 1213141/99 = 1 |₂ 1 + 21 |₂ 1 + 21 + 13 = 1 |₂ 22 |₂ 53 = 112253, resto = 1 + 21 + 13 +41 = 76

División por 999

Es similar a las dos divisiones anteriores, pero agrupando los dígitos de 3 en 3, por la derecha.

Ejemplos:

1. 123456/999 = 123, resto = 123 + 456 = 579
   
   
2. 1234567/999 = 1 + 1234 = 1235, resto = 1 + 234 + 567 = 802
   
   
3. 8999/999 = 8, resto = 8 + 999 = 1007 > 999, nuevo resto = 1007 − 999 = 8, nuevo cociente = 8 + 1 = 9.

División de un número entre un dígito d > 0

1. 2 dígitos (a₁a₂/d).
   
   Fórmula: a₁a₂/d = a₁, resto = d'a₁ + a₂, siendo d' = 10 − d
   
   Justificación: a₁a₂ = 10a₁ + a₂, 10 = d + d', 10/d = 1 (resto d'), 10a₁/d = a₁ (resto = d'), a₁a₂/d = a₁ (resto d'a₁ + a₂)
   
   Esquema:
   
   

   a1	a2
   	d'a1
   a1 (cociente)	a2 + d'a1 (resto)

   
   Ejemplo: 85/6 = 14 (resto 1), d' = 4
   
   

   8	5
   8	4×8 = 32
   8	32 + 5 = 37
   8	37 = 6×6 + 1
   8+6	1
   14 (cociente)	1 (resto)

   
   
2. 3 dígitos (a₁a₂a3/d).
   
   Esquema:
   
   

   a1	a2	a3
   c1 = a1	d'c1	d'c2
   c1	c2 = a2 + d'c1	a3 + d'c2
   c1 | c2 (cociente)		a3 + d'c2 (resto)

   
   Ejemplo: 385/4 = 96 (resto 1), d' = 6
   
   

   3	8	5
   3	6×3 = 18	2×6 = 12
   3	8 + 18 = 26	5 + 12 = 17
   3	26 = 4×6 + 2	17 = 4×4 + 1
   3 + 6 = 9	2 + 4	1
   9	6	1
   9 | 6 = 96 (cociente)		1 (resto)

   
   
3. 4 dígitos (a₁a₂a₃a₄/d).
   
   

   a1	a2	a3	a4
   c1=a1	d'×c1	d'×c2	d'×c3
   c1	c2 = d'×c1 + a2	c3 = d'×c2 + a3	d'×c3 + a4
   c1c2c3/ (cociente)			d'×c3 + a4 (resto)

   
   Ejemplo: 1342/8 = 167 (cociente), 6 (resto). d' = 10 − 8 = 2.
   
   

   1	3	4	2
   1	2×1 = 2	2×5 = 10	6×2 = 12
   1	3+2 = 5	4+10 = 14	2+ 12 = 14
   1	5	14 = 8+6	14
   1	5+1 = 6	6	14 = 8 + 6
   1	6	6+1 = 7	6
   167 (cociente)			6 (resto)

Procedimiento general de división

El procedimiento de división entre dos números es un procedimiento directo. Tirthaji lo denominó “la joya de la corona” de la MV. Permite dividir números de cualquier tamaño en una línea. Lo ilustramos con un ejemplo: 40342/173 = 233 (resto 33).

3	40	3	4	2	0	0	0
17		6	6	4	16	4	13	← restos sucesivos
	2	3	3	1	9	0	7	← cocientes sucesivos

Se calcula 40/17 = 2 (resto 6).

Se crea inicialmente la diagonal formada por la siguiente cifra del divisor (3), el resto inicial (6) y el cociente inicial (2): 3 − 6 − 2. con cada diagonal se realiza un ciclo de 3 pasos:

1. Se multiplica el último cociente calculado (2) por la unidad del divisor (3): 2×3 = 6.
   
   
2. Se resta este número (6) de los dos primeros números de la diagonal (63): 63 − 6 = 57.
   
   
3. Se divide el resultado (57) por la primera parte del divisor (17) y se apunta el cociente (3) y el resto (6). La nueva diagonal es 4 − 6 − 3. Y se repite el mismo procedimiento.

Pasos:

1. Diagonal 3 – 6 – 2.
   1. 2×3 = 6.
   2. 63 − 6 = 57.
   3. 57/17 = 3 (resto 6).
   
   
2. Se crea la diagonal 4 – 6 – 3.
   1. 3×3 = 9.
   2. 64 − 9 = 55.
   3. 55/17 = 3 (resto 4).
   
   
3. Se crea la diagonal 2 – 4 – 3.
   1. 3×3 = 9.
   2. 42 − 9 = 33.
   3. 33/7 = 1 (resto 16).
   
   
4. Se crea la diagonal 0 – 16 – 1.
   1. 1×3 = 3.
   2. 160 − 3 = 157.
   3. 157/17 = 9 (resto 4).
   
   
5. Se crea la diagonal 0 – 4 – 9.
   1. 9×3 = 27.
   2. 40 − 27 = 13.
   3. 13/17 = 0 (resto 13).
   
   
6. Se crea la diagonal 0 – 13 – 0.
   1. 0×3 = 0.
   2. 130 − 0 = 130.
   3. 130/17 = 7 (resto 11).

El resultado es 233.1907…


Otros Ejemplos de Aplicación de Sutras
Trasponer y aplicar (sutra 4)

Este sutra se refiere a la propiedad de las operaciones matemáticas de ser invertidas o reflejadas. Por ejemplo, −1 en un lado de la ecuación se convierte en +1 en el otro lado. Ejemplos:

1. (3x² + 10x + 12)/(x + 2) = 3x + 4 (resto 4)
   
   

   x + 2	3x2	+10x	+12
   −2		−6	−8
   	3x	10 − 6 = 4	12 − 8
   	3x + 4 (cociente)		4 (resto)

   
   
   • Trasponemos el +2 del divisor como −2 en el dividendo.
     
     
   • Dividimos el primer término del dividendo por el primer término del divisor: 3x²/x = 3x. Y lo anotamos en el resultado. El coeficiente del término es c = 3.
     
     
   • Multiplicamos el coeficiente c (3) por el número traspuesto (−2): 3×(−2) = −6. Este resultado se pone bajo el segundo término (+10x). Se suman 10 y −6 = 4.
     
     
   • Se multiplica 4 por el número traspuesto (−2) = 4×(−2) = −8. Se suman 12 y −8 = 4.
     
     
   • El resultado es 3x + 4 (resto 4).
   
   
2. 1364/112 = 12 (resto 2)
   
   

   112	1	3	6	4
   −12	1	−1	−2
   	1	3 − 1	−2	−4
   	1	2	2	4 − 4
   	12 (cociente)		2 (resto)	0

   
   
   • Trasponemos el +12 del divisor como −12 en el dividendo.
     
     
   • Dividimos el primer término del dividendo (1) por el primer término del divisor (1): 1/1 = 1. Y lo anotamos en el resultado. El coeficiente del término es c = 1.
     
     
   • Multiplicamos el coeficiente c (1) por los dos componentes del número traspuesto (−1 y −2): 1×(−1) = −1 y 1×(−2) = −2. Estos resultados se pone bajo el segundo y tercer términos (3 y 6). Se suman 3 y −1 = 2 y se anota bajo el segundo término.
     
     
   • Se multiplica 2 por el número traspuesto (−2) = −4. Se suman 4 y −4 = 0.
     
     
   • El resultado es 12 (resto 2).

Cuando la suma es la misma, la suma es igual a cero (sutra 5)

Este sutra admite muchas interpretaciones, pudiéndose aplicar en diferentes contextos. Ejemplos:

• Hay un factor común. Ejemplos:
  
  
  1. 7x + 3x = 4x + 5x
     El factor común es x. El resultado es x = 0.
     
     
  2. 5(x + 1) = 3(x +1)
     El factor común es x + 1, x + 1 = 0, x = −1.
  
  
• Los productos de términos independientes son iguales. Ejemplo:
  
  (x + 3)(x + 4) = (x − 2)(x − 6)
  El producto es 3×4 = −2×−6 = 12. Por lo tanto, x = 0.
  
  
• La suma de los denominadores de dos fracciones tienen el mismo numerador. Ejemplo:
  
  
  1. 1/(3x − 2) + 1/(2x − 1) = 0.
     La suma de los denominadores es 5x − 3. 5x − 3 = 0, x = 3/5.
     
     
  2. m/(ax + b) + m/(cx + d) = 0.
     La suma de los denominadores es ax + b + cx + d = 0,
     x = −(b + d)/(a + c).
  
  
• Si la suma de los numeradores y la suma de los denominadores es la misma, entonces su suma es cero. Ejemplo:
  
  
  1. (ax + b)/(ax + c) = (ax + c)/(ax + b)
     La suma de los numeradores y de los denominadores es ax + b + cx + d = 0,   x = −(b + c)/2a
     
     
  2. (3x + 4)/(6x + 7) = (5x + 6)/(2x + 3)
     Si llamamos N₁ y N₂ a los numeradores, y D₁ y D₂ a los denominadores, se tiene:
     N₁ + N₂ = 8x + 10 = 0, x = −5/4.
     N₁ − D₁ = −3(x + 1) = 0, x = −1
     N₂ – D₂ = 3(x + 1) = 0, x = −1
     Las dos soluciones son −5/4 y −1.

Si uno es proporcional, el otro es cero (sutra 6)

Este sutra es especial. Solo es aplicable a ciertos tipos de ecuaciones. Ejemplo:

3x + 2y = 6
9x + 5y = 18

Vemos que hay proporcionalidad entre los coeficientes de x y los términos independientes: 9/3 = 18/6 = 3. Por lo tanto, y = 0.


Por adición y sustracción (sutra 7)

En muchos problemas matemáticos y procesos, usamos la adición y la sustracción, simultáneamente o secuencialmente. Ejemplos:

1. x + y = 47
   x − y = 19
   
   Por suma, 2x = 66, x = 33.
   Por resta, 2y = 28, y = 14.
   
   
2. (a²b³ × a⁴b⁵)/a²b = a²⁺⁴⁻²b^{3+5−1 = a4b7}

Por mera observación (sub-sutra 12)

A veces, basta con observar los datos del problema para resolverlo inmediatamente. Ejemplos:

1. Encontrar la ecuación de a recta que pasa por los puntos (10, 5) y (18, 9).
   Observamos que 5×2 = 10 y 9×2 = 18. Por lo tanto, y = 2x.
   
   
2. Resolver la ecuación x + 1/3 = 10/3.
   Observamos que 10/3 = 3 + 1/3. Por lo tanto, x = 3.

Proporcionalmente (sub-sutra 1)

La proporción es fundamental en matemática. Los cálculos se simplifican cuando se puede aplicar la proporcionalidad. Ejemplos:

1. 435/5 = 435×2 / 5×2 = 870/10 = 87
   
   
2. 63/25 = 63×4 / 25×4 = 252/100 = 2.52
   
   
3. 715/125 = 715×8 / 125×8 = 5720/1000 = 5.72

Solo los últimos términos (sub-sutra 9)

Este sub-sutra es útil para resolver ecuaciones simples del tipo siguiente: cuando el numerador y el denominador del lado izquierdo de la ecuación, excluyendo los términos independientes, están en la misma proporción entre ellos que el numerador y el denominador del lado derecho. Por ejemplo, la ecuación

(x²+2x+3)/(x²+4x+9)= (x+2)/(x+4)

Vemos que los dos primeros términos del numerador del lado izquierdo tienen la misma proporción que los del lado derecho:

(x²+2x)/(x²+4x) = (x+2)/(x+4)×x/x

Por lo tanto,

(x²+2x+3)/(x²+4x+9) = (x²+2x)/(x²+4x)

Y solo los últimos términos cuentan:

(x+2)/(x+4)=3/9

La solución es x = −1.